2012 2013 İngilizce Dersi Dinleme CDleri -Ses Dosyaları

2012 2013 İngilizce Dersi Dinleme CDleri -Ses Dosyalarının MEB'in aşağıdaki linkteki sitesinden indirebileceksiniz.

Link:  http://www.meb.gov.tr/duyurular/duyuruayrinti.asp?ID=9745

KÜMELER

KÜMELER

Kümelerde Temel Kavramlar

A kümesi Ahmet’in odasında bulunan eşyalar olsun.

A={kitaplık,saat,masa,ayna,yatak}   s(A)=5   Eleman sayısı 5’dir.

Bu kümeyi ortak özellik yöntemiyle şöyle gösteririz.

A={eşya│Ahmet’in odasında bulunanlar}

“│” öyleki anlamına gelir ve “:” şeklindede gösterilir.

Eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilebilen kümelere sonlu küme denir.

B={x:x <100 ve x asal sayı}

Burada 100’den küçük asal sayılar dediğine göre sayarak kaç tane olduğunu bulabiliriz.Yani sonlu kümedir.

Eleman sayıları doğal sayı ile ifade edilemeyen kümelere sonsuz elemanlı küme denir.

C={x:x asal sayı}

Burada asal sayılar diyor.Asal sayıları sayarak bulmamız çok zor çünkü bir sürüdür.Yani sonsuz elemanlı kümedir.

Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. { } veya Ø sembolü ile gösterilir.

A={a,b,c,d,e}  

B={c,d,e}  

Görüldüğü gibi B’nin her elemanı A’nında elemanıdır.Bu durumda B, A’nın alt kümesidir. BCA olarak gösterilir.

Boş küme her kümenin alt kümesidir.

Her küme kendisinin alt kümesidir.

Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.

D={1,2,3,4}   s(D)=4  

C={a,b,c,d}     s(C)=4

O zaman C≡D deriz.  

Elemanları aynı olan kümelere eşit kümeler denir.

A={a,b,c,d,e}  

B={a,b,c,d,e}

O zaman C=D deriz.

Alt Küme Sayısı

n elamanlı bir kümenin alt küme sayısı 2ⁿ formülüyle bulunur.

Bir kümenin kendisi hariç alt kümelerine özalt kümeleri denir.

n elamanlı bir kümenin özalt küme sayısı 2ⁿ-1 formülüyle bulunur.

Örnek: A ={a,b,{b,c},c,{b},{a,c}}

Kümenin elaman sayısı s(A)=6

Kümenin alt küme sayısı 2ⁿ=2⁶=64

Kümenin özalt küme sayısı 2ⁿ-1=2⁶-1=64-1=63

Küme	Alt Kümeleri		Alt Küme Sayısı
{ }	0 elemanlı	{ }	1
{a}	0 elemanlı	{ }	1
	1 elamanlı	{a}	1
{a,b}	0 elemanlı	{ }	1
	1 elemanlı	{a},{b}	2
	2 elemanlı	{a,b}	1
{a,b,c}	0 elemanlı	{ }	1
	1 elemanlı	{a},{b},{c}	3
	2 elemanlı	{a,b},{a,c},{b,c}	3
	3 elemanlı	{a,b,c}	1
{a,b,c,d}	0 elemanlı	{ }	1
	1 elemanlı	{a},{b},{c},{d}	4
	2 elemanlı	{a,b}{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}	6
	3 elemanlı	{a,b,c},{a,c,d},{a,b,d},{b,c,d}	4
	4 elemanlı	{a,b,c,d}	1

n elemanlı sonlu bir kümenin r elemanlı her alt kümesine n’nin r’li kombinasyonudenir.

(n,r)=n!/(n-r)!.r!     formülünü kullanırız.

Örnek: A={a,b,c,d,e} kümesinin 4 elemanlı alt küme sayısı,

(n,r)=n!/(n-r)!.r!

(5,4)=5!/(5-4)!.4!

(5,4)=1.2.3.4.5/1.1.2.3.4 = 5

5 tane 4 elemanlı alt kümesi vardır.

Örnek: A={1,2,3,4,5,6,7} verilen küme için soruları cevaplayalım.

a) Alt kümelerinin kaç tanesinde 5 eleman olarak bulunmaz.

2⁶=64

b) Alt kümelerinin kaç tanesinde 7 eleman olarak bulunur.

2⁶=64

c) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 veya 4 eleman olarak bulunmaz.

Burada hepsinden 3 ve 4'ün elaman olarak bulunduğu durumu çıkartırsak 2⁷-2⁵=128-32=96

d) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 veya 4 eleman olarak bulunur.

2⁷-2⁵=128-32=96

e) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 ve 4 eleman olarak bulunmaz.

2⁷-2⁵=128-32=96

f) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 ve 4 eleman olarak bulunur.

2⁵=32

g) 4 elemanlı alt kümeleri kaç tanedir?

(7,4)’lü kombinasyonu (7,4)=35

h) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 3 bulunur.

(6,3)’lü kombinasyonu (6,3)=20

k) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunmaz.

(6,4)’lü kombinasyonu (6,4)=15

l) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 5 ve 6 bulunur.

(5,2)’li kombinasyonu (5,2)=10

m) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunur 7 bulunmaz.

(5,3)’lü kombinasyonu (5,3)=10

n) En çok 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?

(n,0)+(n,1)+(n,2)= (7,0)+(7,1)+(7,2)=1+7+21=29

o) En az 5 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?

(n,n)+(n,n-1)+(n,n-2)= (7,7)+(7,6)+(7,5)=1+7+21=29

Kümelerde İşlemler

A ve B herhangi iki küme olmak üzere bu iki kümenin ortak elemanlarının oluşturduğu kümeye A ile B kümelerinin kesişim kümesi denir.

A ve B herhangi iki küme olmak üzere bu iki kümenin tüm elemanlarının oluşturduğu kümeye A ile B kümelerinin birleşim kümesi denir.

Eşitlikler

AUB=BUA

A∩B=B∩A

AUA=A

A∩A=A

AU(BUC)=(AUB)UC

A∩(B∩C)=(A∩B) ∩C

AU(B∩C)=(AUB) ∩(AUC)

A∩(BUC)=(A∩B) U(A∩C)

AU Ø =A

A∩ Ø = Ø

Örnek: A={1,2,3,4,5,6}, B={1,2,3}, C={3,6,9}

AUA={1,2,3,4,5,6}

AU Ø ={1,2,3,4,5,6}

AUB={1,2,3,4,5,6}

A∩A={1,2,3,4,5,6}

A∩ Ø = Ø

A∩C={3,6}

AU(B∩C)={1,2,3,4,5,6}

A∩(BUC)={1,2,3,6}

(A∩B) ∩C={3}

AU(BUC)={1,2,3,4,5,6,9}

Formüller

S(AUB)=s(A)+s(B)-s(A∩B)

S(AUBUC)=s(A)+s(B)+ s(C)-s(A∩B) -s(A∩C)-s(B∩C)+s(A∩B∩C)

Örnek: A={1,2,3,4,5,6}, B={1,2,3}, C={3,6,9}

S(AUBUC)=s(A)+s(B)+ s(C)-s(A∩B) -s(A∩C)-s(B∩C)+s(A∩B∩C)

S(AUBUC)=6+3+ 3-3 -2-1+1

S(AUBUC)=7

Kümelerle yapılan işlemlerde işleme katılan tüm kümeleri kapsayan en geniş kümeye evrensel küme denir.E ile gösterilir.

A kümesinde olmayan fakat E kümesinde olan elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir.A’ ile gösterilir.

A kümesinde olan fakat B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A-B olarak gösterilir.

B kümesinde olan fakat A kümesinde olmayan elemanların kümesine B fark A kümesi denir. B-A olarak gösterilir.

Örnek: A={1,2,3,4,a,b}, B={2,3,a,5,c,7}, E={1,2,3,4,5,6,7,a,b,c,d,8}

Bu soruyu şekil çizerek daha iyi çözebilirsiniz.

A’={5,6,7,8,c,d}

B’={1,4,6,8,b,d}

A∩B={2,3,a}

(A∩B)’={1,4,5,6,7,8,b,c,d}

(AUB)’={6,8,d}

A’∩B’={6,8,d}

A’UB’={1,4,5,6,7,8,b,c,d}

A-B={1,4,b}

B-A={5,7,c}

A-A= Ø

A- Ø=A={1,2,3,4,a,b }

Ø-A= Ø

A-E= Ø

E-A=A’={5,6,7,8,c,d }

BAĞINTI-KARTEZYEN ÇARPIM

Sıralı İkili

Herhangi iki x ve y elemanını (x,y) biçiminde yazmaya sıralı ikili yada ikili denir.a’ya sıralı ikilinin birinci bileşeni, b’ye sıralı ikilinin ikinci bileşeni denir.

(a,b) ≠ (b,a)   Yer değiştiğinde eşit olmaz.

(a,b)=(c,d)   Burada a=c ve b=d olur.

Örnek: (2x-1,3+y)=(5+x,-7-y) ise x+y=?

2x-1=5+x   buradan x=6 olur.

3+y=-7-y buradan 2y=-10 yani y= -5 olur.

Kartezyen Çarpım

A ve B kümeleri için, birinci bileşen A’dan, ikinci bileşen B’den alınarak oluşturulacak tüm sıralı ikililerin kümesine A ve B kümelerinin kartezyen çarpımı yani kartezyen çarpım denir.AxB ile gösterilir.

AxB={(x,y)│xϵA ˄ yϵB}

Örnek: A={1,2,3}   B={a,b}

AxB={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}

Kartezyen Çarpımın Eleman Sayısı

s(AxB)= s(BxA)= s(A). s(B)

s(AxA)= s(A). s(A)

Örnek: A={1,2}   B={a,b}

AxB={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}

s(AxB)=s(A). s(B)=2.2=4

Örnek: A={1,2,3}  

AxB={(1,1),(1,2),(1,3), (2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}

s(AxA)= s(A). s(A)=3.3=9 

Kartezyen Çarpımın Özellikleri

1)AxB≠BxA değişme özelliği yok.

2) (AxB)xC=Ax(BxC)= AxBxC birleşme özelliği var.

3) Ax(BUC)= (AxB)U(AxC) U işlemi üzerine dağılma özelliği var.

4) Ax(B∩C)= (AxB)∩(AxC) ∩ işlemi üzerine dağılma özelliği var.

Bağıntı

A ve B herhangi iki küme olsun.AxB nin her β alt kümesine A’dan B’ye bağıntı denir. A’dan B’ye bağıntı sayısı, AxB nin alt küme sayısına eşittir.

s(A)=n s(B)=m ise s(AxB)= n.m

O zaman A’dan B’ye yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı 2^n.m dir.

Örnek: A={1,2}   B={a,b}

AxB={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}

s(AxB)=s(A). s(B)=2.2=4

Kartezyen çarpımın her alt kümesi A’dan B’ye bir bağıntıdır. Bu bağıntılardan bazıları şöyledir.

β₁={(1,a),(2,a)}

β₂={(1,a),(2,a),(1,b)}

β₃={(2,b)}

Bu şekilde AxB’nin 2⁴=16 tane alt kümesi vardır.Bunlardan herbiri,

A’dan B’ye bir bağıntıdır.Yani 16 tane bağıntı yazılır.

Bağıntının Tersi

β bağıntısındaki elamanların bileşenlerinin yerleri değiştirilerek elde edilen bağıntıya β bağıntısının tersi denir. β^-1 ile

gösterilir. β bağıntısı A’dan B’ye tanımlanan bağıntı iken, β^-1

bağıntısı B’den A’ya tanımlanan bağıntıdır.

Örnek: A={3,5,7,8} kümesinde

β={(3,5),(7,8),(5,5)} bağıntısın tersi

β^-1={(5,3),(8,7),(5,5)}

Yansıma Özelliği

β bağıntısı A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.

Her xϵA için (x,x)ϵ β ise β bağıntısı yansıyandır.β bağıntısının yansıma özelliği vardır yada yansıyan bağıntıdır denir.

Örnek: A={a,b,c} kümesi için

β₁={(a,a),(a,b),(b,b),(b,c),(c,c)} yansıma özelliği vardır.

β₂={(a,a),(a,c),(c,a),(c,c)} yansıma özelliği yoktur.

Simetri Özelliği

β bağıntısı A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.

Her (x,y)ϵ β iken (y,x)ϵ β oluyorsa β bağıntısı simetriktir.β bağıntısının simetri özelliği vardır yada simetrik bağıntıdır denir.

Örnek: A={a,b,c,d} kümesi için

β₁={(a,a),(a,c),(c,a)} simetriktir.

β₂={(a,d),(b,c),(c,b)} simetrik değildir.

β simetrik bağıntı ise β= β^-1

β bağıntısının grafiği ile β^-1 bağıntısının grafiği y=x doğrusuna

göre simetriktir. 

Ters Simetri Özelliği

β bağıntısı A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.

x≠y için her (x,y)ϵ β iken (y,x) eleman değil β oluyorsa β bağıntısı ters simetriktir.β bağıntısının ters simetri özelliği vardır yada ters simetrik bağıntıdır denir.Bağıntıda (x,x) gibi aynı bileşenleri olan ikililer varsa bunlar ters simetri özelliğini bozmaz.

Örnek: A={a,b,c,d} kümesi için

β₁={(a,c),(b,b),(c,d)} ters simetriktir.

β₂={(b,c),(a,a),(c,b),(a,d)} ters simetrik değildir.

Geçişme Özelliği

β bağıntısı A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.

Her (x,y)ϵ β ve (y,z)ϵ β iken (x,z)ϵ β oluyorsa β bağıntısı geçişkendir.β bağıntısının geçişme özelliği vardır yada geçişken bağıntıdır denir.

Bir tek ikiliden oluşan bağıntı daima geçişkendir.

Örnek: A={a,b,c,d} kümesi için

β₁={(a,b),(b,c),(a,c)(c,a)} geçişken değildir.

β₂={(a,d),(d,a),(a,a)} geçişkendir.

Örnek: A={1,2,3} kümesi üzerinde tanımlı bazı bağıntılar verilmiştir.

Bağıntılar	Yansıma	Simetri	Ters Simetri	Geçişme
β1={(1,1),(2,2),(3,3)}	var	var	var	var
β2={(2,2),(1,1),(1,3),(3,1)}	yok	var	yok	var
β3={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)}	var	yok	var	var
β4={(1,1),(2,2),(3,2),(1,3)}	yok	yok	var	yok
β5={(1,1),(2,1),(1,2),(3,1)}	yok	yok	yok	yok
β6={(2,1),(1,2),(1,1),(2,2)}	yok	var	yok	yok
β7={(1,1)}	yok	var	var	var
β8={(2,3)}	yok	yok	var	var

MANTIK

Önermeler

Bir önerme doğru hüküm bildiriyorsa 1 veya D, yanlış hüküm bildiriyorsa 0 veya Y ile gösterilir.Doğruluk değerleri dendiğinde 0 ve 1 alırız.

Bir p önermesi için iki farklı doğruluk durumu vardır.

p doğru olabilir,p yanlış olabilir.

p		p
D		1
Y		0

p ve q önermeleri için 4 farklı doğruluk durumu vardır.

p	q
1	1
1	0
0	1
0	0

p, q, r önermeleri için 8 farklı doğruluk durumu vardır.

p	q	r
1	1	1
1	1	0
1	0	1
1	0	0
0	0	0
0	0	1
0	1	0
0	1	1

4 önerme için 16 farklı doğruluk durumu vardır.

Demekki n farklı önerme için 2ⁿ tane doğruluk durumu vardır.

Önerme sayısı 1 ise 2¹=2

Önerme sayısı 2 ise 2²=2.2=4

Önerme sayısı 3 ise 2³=2.2.2=8

Önerme sayısı 4 ise 2⁴=2.2.2.2=16

Şeklinde devam eder.

Denk Önermeler:

Doğruluk değerleri aynı olan önermelere denk önermeler denir. p≡q ile gösterilir.

Bir önermenin olumsuzuna önermenin değili denir. p’ gösterilir.

p≡1 iken p’≡0

p=0 iken p’≡1

Bir önermenin değilinin değili kendisidir.

p≡1   p’≡0   (p’)’≡1     olur.

Bileşik Önermeler

Önermeler birleştirilirken bağlaçlar kullanılır.

p,q önermeleri veya bağlacı ile birleştirilirse p veya q yani pvq olur. Veya’lar doğrulardan yanadır.

p	q	pvq
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

p,q önermeleri ve bağlacı ile birleştirilirse p ve q yani p Λ q olur. Ve’ler yanlışlardan yanadır.

p	q	p Λ q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

De Morgan Kuralları:

(pvq)’ ≡ p’ Λ q’    

(p Λ q)’ ≡ p’ v q’  

Bu denklikleri bu adam bulduğu için ismini vermiştir.

p,q önermeleri ise bağlacı ile birleştirilirse p ise q yani p => q olur.Burada ikinci önermeye bağlı sonuç çıkıyor.Bu bileşik önermeye koşullu önerme denir. p => q önermesinin karşıtı q => p dir. p => q önermesinin tersi p’ => q’ dür. p => q önermesinin karşıt tersi q’ => p’ dür.

p	q	p =>q
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

p,q önermeleri ancak ve ancak bağlacı ile birleştirilirse p ancak ve ancak q yani p <=> q olur.

p	q	p <=>q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Herhangi iki p ve q önermeleri için p <=> q≡1 olduğunda bu bileşik önermeye çift gerektirme denir.

Doğruluk değeri daima 1 olan önermelere totoloji denir.

Doğruluk değeri daima 0 olan önermelere çelişki denir.

Açık Önermeler

İçinde en az bir değişken bulunduran ve bu değişkenin aldığı değerlere göre doğru yada yanlış hüküm bildiren önermelere açık önerme denir.

Değişkenin açık önermeyi doğrulayan değerlerinin kümesine,açık önermenin doğruluk kümesi denir.

Açık önerme	Doğruluk kümesi
p(x): x<4 , xϵN	D={0,1,2,3}
p(x): x2<13 , xϵZ	D={-3,-2,-1,0,1,2,3}

“Bazı” niceleyicisi Ǝ sembolü ile gösterilir.En az bir anlamına gelir.

“Her” niceleyicisi ɏ sembolü ile gösterilir.Bu niceleyiciye evrensel niceleyici denir.

Bazı niceleyicisinin olumsuzu her niceleyicisi, her niceleyicisinin olumsuzu bazı niceleyicisidir.

P(x): “Her şubat ayı 28 gündür.”	P’(x): “Bazı şubat ayları 28 gün değildir.”
Q(x): “Her insan mavi gözlü değildir.”	Q’(x): “Bazı insanlar mavi gözlüdür.”
R(x): “Her balık denizde yaşamaz.”	R’(x): “Bazı balıklar denizde yaşar.”
S(x): “Bazı hayvanlar evcildir.”	S’(x): “Her hayvan evcil değildir.”

İspat Yöntemleri

p: “Bir noktadan sonsuz sayıda doğru geçer.”

q: “Farklı iki noktadan yalnız ve yalnız bir doğru geçer.”

r: “Uzayda doğrusal olmayan üç noktadan yalnız ve yalnız bir düzlem geçer.”

s: “Uzayda kesişen iki düzlemin ara kesiti bir doğrudur.”

p,q,r,s önermeleri aksiyomdur.Aksiyom, doğruluğu ispat etmeye gerek duyulmadan kabul edilen önermelerdir.

Doğruluğunu göstermek zorunda olduğumuz önermelere teorem denir.Bir teorem hipotez ve hükümden oluşur.

p=>q teoreminde p’ye hipotez(varsayım), q’yada hüküm(yargı) denir.

p: “Bir ABC üçgeninde iç açılar toplamı 180 derecedir.”

Hipotez: ABC üçgendir.

Hüküm: İç açıların ölçüleri toplamı 180 derecedir.

Örnek:

Teorem: “İki çift sayının çarpımı yine bir çift sayıdır.”

Hipotez: a ve b iki çift sayıdır.

Hüküm: Çarpımları daima çift sayıdır.

İspat: a bir çift sayı ise a=2n olacak şekilde bir n doğal sayısı vardır. b bir çift sayı ise b=2m olacak şekilde bir m doğal sayısı vardır.

a.b=2n.2m=2.2nm=2.(2nm)=2k

2nm=k olacak şekilde bir k doğal sayısı vardır.Bu durumda iki çift sayının çarpımı yine bir çift sayıdır.

Örnek: [p'Λ(qvr')]≡0 ise p,q,r önermelerinin doğruluk değerleri nedir?

p	p’	q	r	r’	[p’Λ(qvr’)]
1	0	0	1	0	0
1	0	1	0	1	0
1	0	1	1	0	0
1	0	0	0	1	0
0	1	0	1	0	0

Örnek: [(1v0)’v(0’Λ1)’]v1=?

Ne demiştik VEYA’lar doğrulardan yanadır,VE’ler yanlışlardan yanadır.

Önce parantez içlerini ayrı ayrı yapıyoruz.

(1v0)’=1’=0

(0’Λ1)’=(1Λ1)’=1’=0

[0v0]=0

Parantezler bittikten sonra dıştakini dahil ederek sonuca ulaşıyoruz.

0v1=1

Örnek: [pv(pΛq)’]≡1 ise p,q önermelerinin doğruluk değerleri nedir?

p	q	pΛq	(pΛq)’	pv(pΛq)’
1	1	1	0	1
1	0	0	1	1
0	1	0	1	1
0	0	0	1	1

Örnek: [qΛ(pΛq’)]≡0 ise p,q önermelerinin doğruluk değerleri nedir?

p	q	q’	pΛq’	qΛ(pΛq’)
1	0	1	1	0
1	1	0	0	0
0	0	1	0	0
0	1	0	0	0