KÜMELER

KÜMELER

Kümelerde Temel Kavramlar

A kümesi Ahmet’in odasında bulunan eşyalar olsun.

A={kitaplık,saat,masa,ayna,yatak}   s(A)=5   Eleman sayısı 5’dir.

Bu kümeyi ortak özellik yöntemiyle şöyle gösteririz.

A={eşya│Ahmet’in odasında bulunanlar}

“│” öyleki anlamına gelir ve “:” şeklindede gösterilir.

Eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilebilen kümelere sonlu küme denir.

B={x:x <100 ve x asal sayı}

Burada 100’den küçük asal sayılar dediğine göre sayarak kaç tane olduğunu bulabiliriz.Yani sonlu kümedir.

Eleman sayıları doğal sayı ile ifade edilemeyen kümelere sonsuz elemanlı küme denir.

C={x:x asal sayı}

Burada asal sayılar diyor.Asal sayıları sayarak bulmamız çok zor çünkü bir sürüdür.Yani sonsuz elemanlı kümedir.

Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. { } veya Ø sembolü ile gösterilir.

A={a,b,c,d,e}  

B={c,d,e}  

Görüldüğü gibi B’nin her elemanı A’nında elemanıdır.Bu durumda B, A’nın alt kümesidir. BCA olarak gösterilir.

Boş küme her kümenin alt kümesidir.

Her küme kendisinin alt kümesidir.

Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.

D={1,2,3,4}   s(D)=4  

C={a,b,c,d}     s(C)=4

O zaman C≡D deriz.  

Elemanları aynı olan kümelere eşit kümeler denir.

A={a,b,c,d,e}  

B={a,b,c,d,e}

O zaman C=D deriz.

Alt Küme Sayısı

n elamanlı bir kümenin alt küme sayısı 2ⁿ formülüyle bulunur.

Bir kümenin kendisi hariç alt kümelerine özalt kümeleri denir.

n elamanlı bir kümenin özalt küme sayısı 2ⁿ-1 formülüyle bulunur.

Örnek: A ={a,b,{b,c},c,{b},{a,c}}

Kümenin elaman sayısı s(A)=6

Kümenin alt küme sayısı 2ⁿ=2⁶=64

Kümenin özalt küme sayısı 2ⁿ-1=2⁶-1=64-1=63

Küme	Alt Kümeleri		Alt Küme Sayısı
{ }	0 elemanlı	{ }	1
{a}	0 elemanlı	{ }	1
	1 elamanlı	{a}	1
{a,b}	0 elemanlı	{ }	1
	1 elemanlı	{a},{b}	2
	2 elemanlı	{a,b}	1
{a,b,c}	0 elemanlı	{ }	1
	1 elemanlı	{a},{b},{c}	3
	2 elemanlı	{a,b},{a,c},{b,c}	3
	3 elemanlı	{a,b,c}	1
{a,b,c,d}	0 elemanlı	{ }	1
	1 elemanlı	{a},{b},{c},{d}	4
	2 elemanlı	{a,b}{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}	6
	3 elemanlı	{a,b,c},{a,c,d},{a,b,d},{b,c,d}	4
	4 elemanlı	{a,b,c,d}	1

n elemanlı sonlu bir kümenin r elemanlı her alt kümesine n’nin r’li kombinasyonudenir.

(n,r)=n!/(n-r)!.r!     formülünü kullanırız.

Örnek: A={a,b,c,d,e} kümesinin 4 elemanlı alt küme sayısı,

(n,r)=n!/(n-r)!.r!

(5,4)=5!/(5-4)!.4!

(5,4)=1.2.3.4.5/1.1.2.3.4 = 5

5 tane 4 elemanlı alt kümesi vardır.

Örnek: A={1,2,3,4,5,6,7} verilen küme için soruları cevaplayalım.

a) Alt kümelerinin kaç tanesinde 5 eleman olarak bulunmaz.

2⁶=64

b) Alt kümelerinin kaç tanesinde 7 eleman olarak bulunur.

2⁶=64

c) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 veya 4 eleman olarak bulunmaz.

Burada hepsinden 3 ve 4'ün elaman olarak bulunduğu durumu çıkartırsak 2⁷-2⁵=128-32=96

d) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 veya 4 eleman olarak bulunur.

2⁷-2⁵=128-32=96

e) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 ve 4 eleman olarak bulunmaz.

2⁷-2⁵=128-32=96

f) Alt kümelerinin kaç tanesinde 3 ve 4 eleman olarak bulunur.

2⁵=32

g) 4 elemanlı alt kümeleri kaç tanedir?

(7,4)’lü kombinasyonu (7,4)=35

h) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 3 bulunur.

(6,3)’lü kombinasyonu (6,3)=20

k) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunmaz.

(6,4)’lü kombinasyonu (6,4)=15

l) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 5 ve 6 bulunur.

(5,2)’li kombinasyonu (5,2)=10

m) 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunur 7 bulunmaz.

(5,3)’lü kombinasyonu (5,3)=10

n) En çok 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?

(n,0)+(n,1)+(n,2)= (7,0)+(7,1)+(7,2)=1+7+21=29

o) En az 5 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?

(n,n)+(n,n-1)+(n,n-2)= (7,7)+(7,6)+(7,5)=1+7+21=29

Kümelerde İşlemler

A ve B herhangi iki küme olmak üzere bu iki kümenin ortak elemanlarının oluşturduğu kümeye A ile B kümelerinin kesişim kümesi denir.

A ve B herhangi iki küme olmak üzere bu iki kümenin tüm elemanlarının oluşturduğu kümeye A ile B kümelerinin birleşim kümesi denir.

Eşitlikler

AUB=BUA

A∩B=B∩A

AUA=A

A∩A=A

AU(BUC)=(AUB)UC

A∩(B∩C)=(A∩B) ∩C

AU(B∩C)=(AUB) ∩(AUC)

A∩(BUC)=(A∩B) U(A∩C)

AU Ø =A

A∩ Ø = Ø

Örnek: A={1,2,3,4,5,6}, B={1,2,3}, C={3,6,9}

AUA={1,2,3,4,5,6}

AU Ø ={1,2,3,4,5,6}

AUB={1,2,3,4,5,6}

A∩A={1,2,3,4,5,6}

A∩ Ø = Ø

A∩C={3,6}

AU(B∩C)={1,2,3,4,5,6}

A∩(BUC)={1,2,3,6}

(A∩B) ∩C={3}

AU(BUC)={1,2,3,4,5,6,9}

Formüller

S(AUB)=s(A)+s(B)-s(A∩B)

S(AUBUC)=s(A)+s(B)+ s(C)-s(A∩B) -s(A∩C)-s(B∩C)+s(A∩B∩C)

Örnek: A={1,2,3,4,5,6}, B={1,2,3}, C={3,6,9}

S(AUBUC)=s(A)+s(B)+ s(C)-s(A∩B) -s(A∩C)-s(B∩C)+s(A∩B∩C)

S(AUBUC)=6+3+ 3-3 -2-1+1

S(AUBUC)=7

Kümelerle yapılan işlemlerde işleme katılan tüm kümeleri kapsayan en geniş kümeye evrensel küme denir.E ile gösterilir.

A kümesinde olmayan fakat E kümesinde olan elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni denir.A’ ile gösterilir.

A kümesinde olan fakat B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A-B olarak gösterilir.

B kümesinde olan fakat A kümesinde olmayan elemanların kümesine B fark A kümesi denir. B-A olarak gösterilir.

Örnek: A={1,2,3,4,a,b}, B={2,3,a,5,c,7}, E={1,2,3,4,5,6,7,a,b,c,d,8}

Bu soruyu şekil çizerek daha iyi çözebilirsiniz.

A’={5,6,7,8,c,d}

B’={1,4,6,8,b,d}

A∩B={2,3,a}

(A∩B)’={1,4,5,6,7,8,b,c,d}

(AUB)’={6,8,d}

A’∩B’={6,8,d}

A’UB’={1,4,5,6,7,8,b,c,d}

A-B={1,4,b}

B-A={5,7,c}

A-A= Ø

A- Ø=A={1,2,3,4,a,b }

Ø-A= Ø

A-E= Ø

E-A=A’={5,6,7,8,c,d }