MANTIK

Önermeler

Bir önerme doğru hüküm bildiriyorsa 1 veya D, yanlış hüküm bildiriyorsa 0 veya Y ile gösterilir.Doğruluk değerleri dendiğinde 0 ve 1 alırız.

Bir p önermesi için iki farklı doğruluk durumu vardır.

p doğru olabilir,p yanlış olabilir.

p		p
D		1
Y		0

p ve q önermeleri için 4 farklı doğruluk durumu vardır.

p	q
1	1
1	0
0	1
0	0

p, q, r önermeleri için 8 farklı doğruluk durumu vardır.

p	q	r
1	1	1
1	1	0
1	0	1
1	0	0
0	0	0
0	0	1
0	1	0
0	1	1

4 önerme için 16 farklı doğruluk durumu vardır.

Demekki n farklı önerme için 2ⁿ tane doğruluk durumu vardır.

Önerme sayısı 1 ise 2¹=2

Önerme sayısı 2 ise 2²=2.2=4

Önerme sayısı 3 ise 2³=2.2.2=8

Önerme sayısı 4 ise 2⁴=2.2.2.2=16

Şeklinde devam eder.

Denk Önermeler:

Doğruluk değerleri aynı olan önermelere denk önermeler denir. p≡q ile gösterilir.

Bir önermenin olumsuzuna önermenin değili denir. p’ gösterilir.

p≡1 iken p’≡0

p=0 iken p’≡1

Bir önermenin değilinin değili kendisidir.

p≡1   p’≡0   (p’)’≡1     olur.

Bileşik Önermeler

Önermeler birleştirilirken bağlaçlar kullanılır.

p,q önermeleri veya bağlacı ile birleştirilirse p veya q yani pvq olur. Veya’lar doğrulardan yanadır.

p	q	pvq
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

p,q önermeleri ve bağlacı ile birleştirilirse p ve q yani p Λ q olur. Ve’ler yanlışlardan yanadır.

p	q	p Λ q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

De Morgan Kuralları:

(pvq)’ ≡ p’ Λ q’    

(p Λ q)’ ≡ p’ v q’  

Bu denklikleri bu adam bulduğu için ismini vermiştir.

p,q önermeleri ise bağlacı ile birleştirilirse p ise q yani p => q olur.Burada ikinci önermeye bağlı sonuç çıkıyor.Bu bileşik önermeye koşullu önerme denir. p => q önermesinin karşıtı q => p dir. p => q önermesinin tersi p’ => q’ dür. p => q önermesinin karşıt tersi q’ => p’ dür.

p	q	p =>q
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

p,q önermeleri ancak ve ancak bağlacı ile birleştirilirse p ancak ve ancak q yani p <=> q olur.

p	q	p <=>q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Herhangi iki p ve q önermeleri için p <=> q≡1 olduğunda bu bileşik önermeye çift gerektirme denir.

Doğruluk değeri daima 1 olan önermelere totoloji denir.

Doğruluk değeri daima 0 olan önermelere çelişki denir.

Açık Önermeler

İçinde en az bir değişken bulunduran ve bu değişkenin aldığı değerlere göre doğru yada yanlış hüküm bildiren önermelere açık önerme denir.

Değişkenin açık önermeyi doğrulayan değerlerinin kümesine,açık önermenin doğruluk kümesi denir.

Açık önerme	Doğruluk kümesi
p(x): x<4 , xϵN	D={0,1,2,3}
p(x): x2<13 , xϵZ	D={-3,-2,-1,0,1,2,3}

“Bazı” niceleyicisi Ǝ sembolü ile gösterilir.En az bir anlamına gelir.

“Her” niceleyicisi ɏ sembolü ile gösterilir.Bu niceleyiciye evrensel niceleyici denir.

Bazı niceleyicisinin olumsuzu her niceleyicisi, her niceleyicisinin olumsuzu bazı niceleyicisidir.

P(x): “Her şubat ayı 28 gündür.”	P’(x): “Bazı şubat ayları 28 gün değildir.”
Q(x): “Her insan mavi gözlü değildir.”	Q’(x): “Bazı insanlar mavi gözlüdür.”
R(x): “Her balık denizde yaşamaz.”	R’(x): “Bazı balıklar denizde yaşar.”
S(x): “Bazı hayvanlar evcildir.”	S’(x): “Her hayvan evcil değildir.”

İspat Yöntemleri

p: “Bir noktadan sonsuz sayıda doğru geçer.”

q: “Farklı iki noktadan yalnız ve yalnız bir doğru geçer.”

r: “Uzayda doğrusal olmayan üç noktadan yalnız ve yalnız bir düzlem geçer.”

s: “Uzayda kesişen iki düzlemin ara kesiti bir doğrudur.”

p,q,r,s önermeleri aksiyomdur.Aksiyom, doğruluğu ispat etmeye gerek duyulmadan kabul edilen önermelerdir.

Doğruluğunu göstermek zorunda olduğumuz önermelere teorem denir.Bir teorem hipotez ve hükümden oluşur.

p=>q teoreminde p’ye hipotez(varsayım), q’yada hüküm(yargı) denir.

p: “Bir ABC üçgeninde iç açılar toplamı 180 derecedir.”

Hipotez: ABC üçgendir.

Hüküm: İç açıların ölçüleri toplamı 180 derecedir.

Örnek:

Teorem: “İki çift sayının çarpımı yine bir çift sayıdır.”

Hipotez: a ve b iki çift sayıdır.

Hüküm: Çarpımları daima çift sayıdır.

İspat: a bir çift sayı ise a=2n olacak şekilde bir n doğal sayısı vardır. b bir çift sayı ise b=2m olacak şekilde bir m doğal sayısı vardır.

a.b=2n.2m=2.2nm=2.(2nm)=2k

2nm=k olacak şekilde bir k doğal sayısı vardır.Bu durumda iki çift sayının çarpımı yine bir çift sayıdır.

Örnek: [p'Λ(qvr')]≡0 ise p,q,r önermelerinin doğruluk değerleri nedir?

p	p’	q	r	r’	[p’Λ(qvr’)]
1	0	0	1	0	0
1	0	1	0	1	0
1	0	1	1	0	0
1	0	0	0	1	0
0	1	0	1	0	0

Örnek: [(1v0)’v(0’Λ1)’]v1=?

Ne demiştik VEYA’lar doğrulardan yanadır,VE’ler yanlışlardan yanadır.

Önce parantez içlerini ayrı ayrı yapıyoruz.

(1v0)’=1’=0

(0’Λ1)’=(1Λ1)’=1’=0

[0v0]=0

Parantezler bittikten sonra dıştakini dahil ederek sonuca ulaşıyoruz.

0v1=1

Örnek: [pv(pΛq)’]≡1 ise p,q önermelerinin doğruluk değerleri nedir?

p	q	pΛq	(pΛq)’	pv(pΛq)’
1	1	1	0	1
1	0	0	1	1
0	1	0	1	1
0	0	0	1	1

Örnek: [qΛ(pΛq’)]≡0 ise p,q önermelerinin doğruluk değerleri nedir?

p	q	q’	pΛq’	qΛ(pΛq’)
1	0	1	1	0
1	1	0	0	0
0	0	1	0	0
0	1	0	0	0