Kümeler (Matematik)

Küme Ne Demektir? Küme Çeşitleri Nelerdir?

Herkes tarafından bilinen, elemanları iyi tanımlanmış,birbirinden farklı nesnelerin veya şekillerin bir araya gelerek oluşturdukları topluluklar bütününe yada net bir şekilde tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir.Bazı,kimi,bir kısım gibi netlik ifade etmeyen ve kişisel yorumlara dayalı ifadeler küme belirtmez.Bazı şovmenler,Dünyanın en güzel kadını; bunlar küme belirtmez.Kümeler büyük harflerle gösterilir.

Evrensel küme: Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri içine alan kümeye denir.En büyük kümedir.

Tümleyen: A'nın tümleyeni veya tümleneni demek, A kümesinin dışında kalan bütün elemanların oluşturduğu kümedir.



Ayrık küme: Kesişimleri boş kümedir.Yani iki küme arasında ortak veya beraber kullanılan eleman olmuyacak.İçiçe geçen A alt küme B olduğunda A  fark B kümesi kesinlikle boş kümedir.

Eşit Küme: Elemanları aynı olan kümelere denir.Aynı zamanda eleman sayılarıda eşittir.



Denk Küme: Eleman sayıları aynı olan kümelere denir.Dikkat elemanları deyil,eleman sayıları aynı olcak.Eşit kümeler denk kümelerdir ama, denk kümeler eşit küme deyildir. º sembolü ile gösterilir.


Kümelerin Gösterim Şekilleri:
Kümelerin 3 çeşit gösterimi vardır.
1) Liste yöntemi: Kümenin elemanları aralarına virgül konularak parantez içinde yazılır. A= (1,2,3,4,5)
2) Şema yöntemi: Kümenin elemanları yanlarına nokta koyularak şema veya kapalı bir şekil içerisine yazılır.3) Ortak özellik yöntemi: Kümenin elemanlarının ortak özellikleri kısaltılarak parantez içine yazılır. 
A=( 10'dan küçük tek sayılar)
Alt Küme: Alt küme demek bir küme diğer kümenin içinde olacak. Örneğin haftanın günleri kümesinde Salı günü alt kümedir çünkü haftanın içindedir.Haftanın günleri küme,salı günü alt kümedir.Kapsar tam tersi demektir.
Her küme kendisinin alt kümesidir.
A=(1,2,3,4,5,6) Kümesinin bazı alt kümeleri (1),(2),(1,2,5),(2,4,5,6),(1,2,3,4,5,6) .......






Boş Küme: Elemanı olmayan kümeye denir.Boş küme her kümenin alt kümesidir.


Kümelerin Birleşimi A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È B biçiminde gösterilir.Kümelerde birleşim işlemi demek elemanların hepsini alacaz yani birleştirecez.
A È B = {x : x Î A veya x Î B}


Kümelerin Kesişimi
A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir
ve A Ç B biçiminde gösterilir.Kümelerde kesişim işlemi demek ortak kullanılanı yani arada olanı alacaz.
A Ç B = {x : x Î A ve x Î B}



Birleşim ve Kesişimle İlgili Temel Kavramlar


İKİ KÜMENİN FARKI
A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A B biçiminde gösterilir.Kümelerde fark işlemi demek örneğin A-B , A’da olan B’de olmayan elemanlar veya fark işaretinin sağındaki kümeyi her zaman parmağımızla kapatıp diğer elemanları alacaz.
A – B = {x : x Î A ve x Ï B}


Kümelerle İlgili Örnekler

A = (1,2,3,a,b,5)
B = (3,d,e,5,7)
AÇB = (3,5)
AUB = (1,2,3,a,b,5,d,e,7)
A/B = (1,2,a,b)
s(AUB)=s(A)+s(B)-s(AÇB)
s(AUB)=s(A-B)+s(B-A)+s(AÇB)
ELEMAN SAYISI
A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,
  i) s(A È B) = s(A) + s(B) – s(A Ç B)
 ii) s(A È B È C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A Ç B) – s(A Ç C)
    – s(B Ç C) + s(A Ç B Ç C)
iii) s(A È B) = s(A – B) + s(A Ç B) + s(B – A)
ıv) a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(V) = b + c, 
tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T) = a + b, 
voleybol ve tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T Ç V) = b olsun.

Tenis veya voleybol oynayanların sayısı:

s(T È V) = a + b + c

Tenis ya da voleybol oynayanların sayısı:

s(T – V) + s(V – T) = a + c

Sadece tenis oynayanların sayısı:

s(T – V) = a

Tenis oynamayanların sayısı:

s(T) = c + d

Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı:

s(T È V) = a + b + c

Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı:

s(A Ç B) = s(A È B) + s(T – V) + s(V – T) = d + a + c

Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı:

s(A È B) = d

Kümelerle İlgili Çözümlü Örnek Sorular